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別人家的面試題:不可變陣列快速範圍求和

(給演算法愛好者加星標,修煉編程內功

來源:十年蹤跡的博客

h5jun.com/post/range-sum-query-immutable.html

這是一道翻譯小組的同學問我的題目,這道題很有意思,在 leetcode 上標記的難度為 Easy, 然而正確率出奇地低,只有不到 25%,看來這是一道看似簡單實際上頗有挑戰性的題目。

不可變陣列的範圍求和

給定一個整數陣列 nums,計算出從第 i 個元素到第 j 個元素的和 ( i ≤ j ),包括 nums[ i ] 和 nums[ j ]。

例子:

const nums = Object.freeze([-203-52-1]);sumRange(0, 2) -> 1sumRange(2, 5) -> -1sumRange(0, 5) -> -3

註意:

1、假定陣列的值不會改變(如上面代碼,nums 因為 Object.freeze 的緣故可讀不可寫)

2、sumRange 可能會被使用很多次,求不同範圍的值

3、陣列可能規模很大(比如超過 10000 個數),註意運行時間

解題思路

這道題看起來十分簡單對吧,簡單寫一個函式應該誰都會:

簡單實現

function sumRange(i, j){  var sum = 0;  for(; i <= j; i++){    sum += nums[i];  }  return sum;}

不過呢,這麼寫,對照上面的註意事項,尤其是後兩條:

 

  • sumRange 可能會被使用很多次
  • 陣列的規模可能會很大

如果考慮這兩條,那麼上面的方法可以說是十分慢的,這也是為什麼很多人在 leetcode 提交代碼通不過,因為簡單這麼算的話,跑 leetcode 的大陣列 case 肯定超時。

那麼,我們要怎麼做才能更快呢?註意到前面說的這是不可變陣列了吧?也就是說陣列初始化完成之後,它的值不會改變,因此我們可以對它進行拷貝,同時“重新編碼”。

具體怎麼做,大家心裡是不是已經隱隱有答案了?讓我們思考30秒鐘然後繼續 ——

重構陣列

我們可以重新創建一個陣列類,用新的陣列來計算 sumRange:

重構陣列

const Immutable = Sup => class extends Sup {  constructor(...args){    super(...args);    Object.freeze(this);  }}class NumArray extends Immutable(Array){  sumRange(i, j){    let sum = 0;    for(; i <= j; i++){      sum += this[i];    }    return sum;      }}
上面的代碼裡面我們重構了陣列,這裡我用了一點點小技巧來讓陣列元素不可變,這個技巧在我之前的一篇譯文“六個漂亮的 ES6 技巧”中被提到,很多同學不理解那篇文章的第6個技巧,在這裡我使用了一下,當然這無關我們今天討論的主題。

於是我們可以用新的陣列物件來計算 sumRange:

 

var nums = new NumArray(-203-52-1);nums.sumRange(0, 2) -> 1nums.sumRange(2, 5) -> -1nums.sumRange(0, 5) -> -3

 

到這裡為止,我們似乎並沒有改變什麼,我們只是繼承了 Array 類,把 sumRange 改成了物件的方法而已,它還是一樣很慢。

那接下來我們要怎麼做呢?

因為前面說過了,sumRange 要被呼叫很多次,所以我們要盡可能減少 sumRange 呼叫的複雜度對嗎?按照前面的方式,我們用一個迴圈來對從 i 到 j 進行求和,有沒有更快的方法?答案是:空間換時間,查表!

查表

查表不是查水錶,因為 sumRange 要計算很多次,所以我們可以事先在 NumArray 構造的時候將 sumRange 需要查的值算好存入一個表中。

二維表?

R/C 0 1 2 3 4 5
0 -2 -2 1 -4 -2 -3
1 0 3 -2 0 -1
2 3 -2 0 -1
3 -5 -3 -4
4 2 1
5 -1

二維表可以將每一對 i, j 完全映射一個值,這樣的話,空間複雜度變成了 O( n2 ),記得我們前面說了,這個陣列可能會很大,有 10000 個元素,如果用這樣的映射表,記憶體就上限溢位了。實際上,使用二維表是愚蠢的,因為我們可以很容易找到以下對應關係:

sumRange(i, j) === sumRange(0, j) - sumRange(0, i - 1); //(i > 0)

一維表

我們只需要將 NumArray 的每一個元素對應從第 1 元素開始求和,將結果儲存成一個一維表,我們就可以用 O( 1 ) 時間複雜度來計算 sumRange( i, j ) !

以下是經過優化之後的 NumArray:

使用一維表

const UniqueID = Sup => class extends Sup {  constructor(...args){      super(...args);      Object.defineProperty(this, "id", {        value: Symbol(),        writable: false,        enumerable: false      });    }}const Immutable = Sup => class extends Sup {  constructor(...args){    super(...args);    Object.freeze(this);  }}const NumArray = (function(){  let sumTable = {};  return class  extends Immutable(UniqueID(Array)){    constructor(...args){      super(...args);      let sum = 0;      let table = [0];      for(let i = 0; i < this.length; i++){        sum += this[i];        table.push(sum);      }      sumTable[this.id] = table;    }    sumRange(i, j){      let table = sumTable[this.id];      return table[j + 1] - table[i];       }  }})();

上面的代碼里,我們在構造 NumArray 的時候同時創建了一個私有屬性 sumTable,它的第 1 個元素是 0,第 i + 1 個元素等於 sumRange(0, i),因此我們就可以快速通過:

sumRange(i, j){  let table = sumTable[this.id];  return table[j + 1] - table[i];   }

來計算出 sumRange(i, j) 的值了。

進一步優化

上面的代碼通過查表大大加快了 sumRange 的執行速度,由於陣列 NumArray 是不可變的,因此我們在它被構造的時候創建好 sumTable,那麼 sumRange 就完全只需要查表加上一次減法運算就可以完成了。這麼做提升了 sumRange 的性能,代價是構造 NumArray 物件的時候帶來額外的建表開銷。

不過,我們可以不在構造物件的時候建表,而在物件的 sumRange 方法第一次被使用的時候建表。這樣的話,我們就將性能開銷延從構造物件時遲到了第一次使用 sumRange 時,如果恰巧某種原因,NumArray 物件沒有被使用,那麼 sumTable 就永遠也不會被創建。看下麵的代碼:

將創建 sumTable 的工作放在 sumRange 第一次被呼叫時

const UniqueID = Sup => class extends Sup {  constructor(...args){    super(...args);    Object.defineProperty(this, "id", {      value: Symbol(),      writable: false,      enumerable: false    });  }};const Immutable = Sup => class extends Sup {  constructor(...args){    super(...args);    Object.freeze(this);  }};const NumArray = (function(){  let sumTable = {};  return class  extends Immutable(UniqueID(Array)){    sumRange(i, j){      if(!sumTable[this.id]){        let table = [0], sum = 0;        for(let i = 0; i < this.length; i++){          sum += this[i];          table.push(sum);        }        sumTable[this.id] = table;      }      let table = sumTable[this.id];      return table[j + 1] - table[i];    }  }})();

以上是今天我們討論的內容。上面的代碼其實還可以優化,因為我們將建表的工作推遲到 sumRange 第一次被呼叫時執行,這很好,但這給 sumRange 帶來了一次 if 判斷操作的額外開銷,實際上我們應該也有辦法消除這個開銷,我把這個問題留給大家吧,歡迎大家討論。

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