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數學史上最簡單卻最複雜的公式

(給演算法愛好者加星標,修煉編程內功

轉自:超級數學建模

這個公式

你值得擁有

是什麼公理,

讓從小家境優渥的他,

在慘遭雪藏後又名聲大躁?

是什麼公理,

讓著名科學雜誌一再拒收?

它讓人咬牙切齒的證明,

到底是道德的淪喪,

還是人性的泯滅?

接下來,

就讓小天帶你走進

揭秘神秘公式欄目。

    畢達哥拉斯定理的起源    

約公元前580年,畢達哥拉斯出生在愛琴海中的一個富商家庭。自小畢達哥拉斯就展現出了他的聰明頭腦。

畢達哥拉斯

因此,在有錢爸爸的“買買買,玩玩玩”的家庭主導思想下,開始跟著父親四處游歷。

在游歷的途中,經歷了當時世界上文化水準非常高的兩個國家——古巴比倫和古印度,吸收了當地大量的文化思想。

古巴比倫、古印度

公元前551年,畢達哥拉斯師從數學家、天文學家泰勒斯、阿那克西曼德和菲爾庫德斯,正式開始了自己的進修之路。

然而,畢達哥拉斯還未等到他一展抱負,當地的薩摩斯人就對他穿東方人服裝、蓄頭髮以及宣傳理性神學的行為非常反感,認為畢達哥拉斯在宣傳邪教。

這直接導致了畢達哥拉斯被抹殺在當地出道的機會。

 

慘遭雪藏的畢達哥拉斯非常憤怒:“你們這些愚蠢的人類,等我學成歸來,要你們都拜在我的長袍底下。”

畢達哥拉斯發憤圖強,在埃及神廟進修十年,終於歸來。

公元前520,畢達哥拉斯開始在各地開設演講,憑藉著個人魅力,吸引了大量的上層人士,收穫了一大批追隨他的粉絲,還因為打破了婦女不可參與公開會議的規則,撩到了他年輕貌美的妻子西雅娜。

人生贏家畢達哥拉斯在準備發展後援會的路上一騎絕塵。終於,在意大利南部的希腊屬地克勞東,他正式建立了自己的後援會,並且招收大量粉絲。

在後援會逐漸發展壯大的同時,畢達哥拉斯受邀參加一名政要的宴會。

宴會中,大餐遲遲不上,在賓客怨聲載道的時候,畢達哥拉斯卻在不經意間,多看了大廳上的正方形地磚一眼,再沒能轉移自己的視線:

 

選一塊磁磚以它的對角線AB為邊畫一個正方形,這個正方形面積恰好等於兩塊磁磚的面積和。

接著他再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形,他發現這個正方形之面積等於5塊磁磚的面積,也就是以兩股為邊作正方形面積之和

至此,畢達哥拉斯已和地磚確認過眼神:

直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方

這就是著名的畢達哥拉斯定理,也就是我們現在生活中所說的:勾股定理。

雖然現有的研究資料表明,同時期的工匠、印度人在研究或教育的實際運用中,體現過這個定理。但是畢達哥拉斯卻是在發現這個定理的同時,不單隻是把他作為一種計算方法,還整理出了這個定理的證明方法。

就這個貢獻來說,畢達哥拉斯是獨一無二的。

    畢達哥拉斯定理的證明及意義    

在平面上的一個直角三角形中,兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是

  和  ,斜邊長度是  ,那麼可以用數學語言表達:

其實有關勾股定理的證明非常多。

《美國數學月刊》(American Mathematical Monthly)在1894年開始創立這本雜誌的時候,該雜誌就專門開闢了一個有關問題求解的版塊,這個版塊就有畢達哥拉斯定理。該雜誌當時開闢這本雜誌的初衷是:

 

問題求解是引導思維進入更高級的原創性研究領域的階梯。許多原本智力平平的人在掌握了某一個問題求解後,跨入到研究的行列中

但是讓該雜誌沒想到的是,有關畢達哥斯拉定理的解法來了一個又一個,等到收到第一百個證明方法的時候,該雜誌的編輯崩潰了:“你們是魔鬼嗎??老子不幹了!” 

並宣佈:“該定理的證法是無窮無盡的,本刊今後將不再接受此類稿件”。

寫到這裡有些人就會問了:把那麼多的註意力,花費到一個已經被證明的定理上有什麼意義嗎?

事實上,畢達哥拉斯定理的應用範圍是非常廣且合理的。

它不僅適用於建築學物理學天文學等,事實上它幾乎在所有領域和運用上都是適用的。

在三維空間中,用畢達哥拉斯定理的距離運算式是:

在四維的歐幾裡得空間中,用畢達哥拉斯定理的距離運算式是:

其次,因為是簡單可行的證明方法,在一定程度上來說,是能夠讓思考問題的角度更多變,也能增強研究的樂趣:

 

即使畢達哥拉斯定理包含了一些在證明伊始看似難以置信的數學知識,人們也可以在沒有接受過任何數學訓練的情況下,用簡單而又令人信服的方式加以證明。這也正是自柏拉圖以來的哲學家和科學家將其作為推理典範的原因所在。

有趣的是,看起來與數學毫無關聯的政治家,第十二任美國總統加菲爾德,也給出了勾股定理的證明方法:

在直角梯形ABDE中,∠AEC=∠CDB=90°,△AEC≌△CDB,

  

            

∵ 

 

    讓人慌得一批的畢達哥拉斯定理證明    

寫到這裡,超模君不禁想起了那屆被勾股定理支配的高考考生。

那一年,中國剛剛恢復高考。

第一屆高考的數學題,教育部就琢磨著,要請數學方面的權威來出題。

於是教育部左思右想,最後請來了一批權威學者來為這次高考出題。

潘承彪教授就是其中一個。

潘承彪

戲劇性的是,潘教授雖然只是出了一道證明題。但恰恰就是潘教授出的這道題,讓當年的高考考生大呼:“人間不值得。”

據傳,潘教授剛和哥哥討論完哥德巴赫思想,就想:“第一屆高考,不能出太難的,那就出一道簡單點的證明題吧。”

於是在那一年的數學考場上,當所有考生翻到最後一題的時候,他們全都傻眼了:

請證明勾股定理。

對於考生們來說,勾股定理就像1+1=2 一樣自然,誰還會去想要怎麼證明呢。

自然而然,很多考生都完敗在這道題上。

 

評捲結束,只有1%的考生答對了這道題。

據傳,當年潘教授在這件事後,有段時間總在打噴嚏。同事們還紛紛收到他的囑咐:“你們可千萬不要和別人透露,那道題是我出的啊!”

潘教授應該沒有料到,事隔多年,當年出的這道證明題,會在各個網站上盤點的史上最變態高考題上C位出道吧。

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