最讓人糾結的等式：0.999…=1

作者：pondering

來源：果殼網

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01 最簡單的“證明”

最簡單的證明是這樣的：1/3 = 0.333…，兩邊同時乘以 3，1 = 0.999… 。

1998 年，弗雷德·裡奇曼（Fred Richman）在《數學雜誌》（Mathematics Magazine）上的文章《0.999… 等於 1 嗎？》中說到：

這個證明之所以如此具有說服力，要得益於人們想當然地認為第一步是對的，因為第一步的等式從小就是這麼教的。

大衛·託（David Tall）教授也從調查中發現，不少學生看了這個證明之後都會轉而開始懷疑第一個等式的正確性。仔細想想你會發現，“1/3 等於 0.333…”與 “1 等於 0.999…”其實別無二致，它們同樣令人難以接受。

正如很多人會認為“0.999… 只能越來越接近 1 而並不能精確地等於 1”一樣，“0.333… 無限接近但並不等於 1/3”的爭議依舊存在。問題並沒有解決。

02 另一個充滿爭議的證明

大衛·福斯特·華萊士（David Foster Wallace）在他的 《Everything and More》一書中介紹了另外一個著名的證明：

令 x = 0.999…

所以 10x = 9.999…

兩式相減得 9x = 9

所以 x = 1

威廉·拜爾斯（William Byers）在《How Mathematicians Think》中評價這個證明：

0.999… 既可以代表把無限個分數加起來的過程，也可以代表這個過程的結果。許多學生僅僅把 0.999… 看作一個過程，但是 1 是一個數，過程怎麼會等於一個數呢？這就是數學中的二義性……他們並沒有發現其實這個無限的過程可以理解成一個數。看了上面這個證明而相信等式成立的學生，可能還沒有真正懂得無限小數的含義，更不用說理解這個等式的意義了。

03 逐漸靠譜的證明

等比級數具有這麼一個性質：如果 |r|

那麼我們就又有了一個快速的證明：

這個證明最早出現在 1770 年大數學家尤拉（Leonhard Euler）的《代數的要素》（Elements of Algebra）中，不過當時他證明的是 10＝9.999… 。

之後的數學課本中漸漸出現了更為形式化的極限證明：

1846 年，美國教科書《大學算術》（The University Arithmetic）裡這麼說：在 0.999… 裡，每增加一個 9，它都離 1 更近。1895 年的另一本教科書《學校算術》（Arithmetic for School）則說：如果有非常多的 9，那麼它和 1 就相差無幾了。

意外的是，這些“形象的說法”卻適得其反，學生們常常以為 0.999… 本身其實是比 1 小的。

隨著人們對實數更加深入的理解，0.999… = 1 有了一些更深刻的證明。

1982 年，巴圖（Robert. G. Bartle）和謝波特（D. R. Sherbert）在《實分析引論》（Introduction to Real Analysis）中給出了一個區間套的證明：給定一組區間套，則數軸上恰有一點包含在所有這些區間中；0.999… 對應於區間套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] … ，而所有這些區間的唯一交點就是 1，所以 0.999… = 1。

弗雷德·裡奇曼的文章《0.999… 等於 1 嗎？》裡則用戴德金分割給出了一個證明：所有比 0.999… 小的有理數都比 1 小，而可以證明所有小於 1 的有理數總會在小數點後某處異於 0.999… （因而小於 0.999… ），這說明 0.999… 和 1 的戴德金分割是一模一樣的集合，從而說明 0.999… = 1 。

格裡菲思（H. B. Griffiths）和希爾頓（P. J. Hilton）在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中，用柯西序列給出了另一個證明。

04 從未停止過的討論

儘管證明越來越完備，學生們的疑惑卻從來沒有因此減少。在品託（Pinto）和大衛·託教授的一份調查報告中寫到，當學生們用高等方法證明瞭這個等式之後，會大吃一驚地說，這不對呀，0.999… 顯然應該比 1 小呀。

在網際網路上，這個等式的魅力也依然不減。辯論 0.999… 是否等於 1 被討論組 sci.math 評為“最受歡迎的運動”，各類問答網站中也總是會有網友激烈的討論。

諾貝爾獎獲者費曼（Richard Feynman）也用這個等式開過一句玩笑。

有一次他說到：

如果讓我背圓周率，那我背到小數點後 762 位，然後就說 99999 等等等，就不背了。

這句話背後有一個很奇怪的笑點：從 π 的小數點後 762 位開始，出現了連續的 6 個 9，偏偏在這裡來一個“等等等”，就會給人感覺好像後面全是 9，這相當於把 π 變成了一個有限小數。此後，π 的小數點後 762 位就被戲稱為了費曼點（Feynman Point）。