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最讓人糾結的等式:0.999…=1

導讀:0.999… = 1 嗎?

此問題在國內外大大小小的網絡社區里出現了無數多次,每次都能引來上百人激烈的爭論,可謂是最經久不衰的老問題了。其實,在學術界里,這個問題也是出了名的爭論熱點。讓我們來看看,數學家們都是怎麼來看待這個問題的。

作者:pondering

來源:果殼網

鏈接:https://www.guokr.com/article/19218/

01 最簡單的“證明”

最簡單的證明是這樣的:1/3 = 0.333…,兩邊同時乘以 3,1 = 0.999… 。

1998 年,弗雷德·里奇曼(Fred Richman)在《數學雜誌》(Mathematics Magazine)上的文章《0.999… 等於 1 嗎?》中說到:

這個證明之所以如此具有說服力,要得益於人們想當然地認為第一步是對的,因為第一步的等式從小就是這麼教的。

大衛·托(David Tall)教授也從調查中發現,不少學生看了這個證明之後都會轉而開始懷疑第一個等式的正確性。仔細想想你會發現,“1/3 等於 0.333…”與 “1 等於 0.999…”其實別無二致,它們同樣令人難以接受。

正如很多人會認為“0.999… 只能越來越接近 1 而並不能精確地等於 1”一樣,“0.333… 無限接近但並不等於 1/3”的爭議依舊存在。問題並沒有解決。

02 另一個充滿爭議的證明

大衛·福斯特·華萊士(David Foster Wallace)在他的 《Everything and More》一書中介紹了另外一個著名的證明:

令 x = 0.999…

所以 10x = 9.999…

兩式相減得 9x = 9

所以 x = 1

威廉·拜爾斯(William Byers)在《How Mathematicians Think》中評價這個證明:

0.999… 既可以代表把無限個分數加起來的過程,也可以代表這個過程的結果。許多學生僅僅把 0.999… 看作一個過程,但是 1 是一個數,過程怎麼會等於一個數呢?這就是數學中的二義性……他們並沒有發現其實這個無限的過程可以理解成一個數。看了上面這個證明而相信等式成立的學生,可能還沒有真正懂得無限小數的含義,更不用說理解這個等式的意義了。

03 逐漸靠譜的證明

等比級數具有這麼一個性質:如果 |r|

 

那麼我們就又有了一個快速的證明:

這個證明最早出現在 1770 年大數學家歐拉(Leonhard Euler)的《代數的要素》(Elements of Algebra)中,不過當時他證明的是 10=9.999… 。

之後的數學課本中漸漸出現了更為形式化的極限證明:

1846 年,美國教科書《大學算術》(The University Arithmetic)里這麼說:在 0.999… 里,每增加一個 9,它都離 1 更近。1895 年的另一本教科書《學校算術》(Arithmetic for School)則說:如果有非常多的 9,那麼它和 1 就相差無幾了。

意外的是,這些“形象的說法”卻適得其反,學生們常常以為 0.999… 本身其實是比 1 小的。

隨著人們對實數更加深入的理解,0.999… = 1 有了一些更深刻的證明。

1982 年,巴圖(Robert. G. Bartle)和謝波特(D. R. Sherbert)在《實分析引論》(Introduction to Real Analysis)中給出了一個區間套的證明:給定一組區間套,則數軸上恰有一點包含在所有這些區間中;0.999… 對應於區間套[0, 1]、[0.9, 1]、[0.99, 1]、[0.999, 1] … ,而所有這些區間的唯一交點就是 1,所以 0.999… = 1。

弗雷德·里奇曼的文章《0.999… 等於 1 嗎?》里則用戴德金分割給出了一個證明:所有比 0.999… 小的有理數都比 1 小,而可以證明所有小於 1 的有理數總會在小數點後某處異於 0.999… (因而小於 0.999… ),這說明 0.999… 和 1 的戴德金分割是一模一樣的集合,從而說明 0.999… = 1 。

格裡菲思(H. B. Griffiths)和希爾頓(P. J. Hilton)在 1970 年出版的《A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation》中,用柯西序列給出了另一個證明。

04 從未停止過的討論

儘管證明越來越完備,學生們的疑惑卻從來沒有因此減少。在品托(Pinto)和大衛·托教授的一份調查報告中寫到,當學生們用高等方法證明瞭這個等式之後,會大吃一驚地說,這不對呀,0.999… 顯然應該比 1 小呀。

在互聯網上,這個等式的魅力也依然不減。辯論 0.999… 是否等於 1 被討論組 sci.math 評為“最受歡迎的運動”,各類問答網站中也總是會有網友激烈的討論。

諾貝爾獎獲者費曼(Richard Feynman)也用這個等式開過一句玩笑。

有一次他說到:

如果讓我背圓周率,那我背到小數點後 762 位,然後就說 99999 等等等,就不背了。

這句話背後有一個很奇怪的笑點:從 π 的小數點後 762 位開始,出現了連續的 6 個 9,偏偏在這裡來一個“等等等”,就會給人感覺好像後面全是 9,這相當於把 π 變成了一個有限小數。此後,π 的小數點後 762 位就被戲稱為了費曼點(Feynman Point)。

據統計,99%的大咖都完成了這個神操作


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