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少兒圖論:八歲小孩眼裡的歐拉公式

(給演算法愛好者加星標,修煉編程內功

來源:少年數學家

計算機數學應該從娃娃抓起。本文作者曾在7歲和8歲兒童課堂和孩子一起互動,學習圖論的基本知識,向她們傳遞了數學之美,非常有意思!

我的女兒上小學三年級。今天早上,我被邀請到她們的數學課堂,和那些8、9歲充滿好奇的孩子們做了一次精彩的數學互動。

我的目的是想讓這群孩子自己主動的愉快的發現在拓撲學中的歐拉公式。

一開始,我舉了一個簡單的例子,畫了一張各邊連接起來的平面圖。

我要她們數一數圖中頂點(Vertices)、邊數(Edges)和這個圖分割出來的區域個數(Regions),並且強調“外部區域”也應該算區域之一(比如一個圓把平面分割為兩個區域)。

然後我神秘的告訴她們,歐拉曾經計算過V−E+R,結果發現了一個驚人的秘密,看看她們能不能發現?

我事先給這些小朋友們每人準備一些圖冊,裡面有一些不同的用來計算歐拉公式的平面圖。

現在,我讓她們自己來計算。

後來,每個小朋友都發現了這個秘密,她們驚呼,為什麼我們得出的結果都等於2呢? 驚訝之餘,她們已經被這個神奇的結果深深吸引!

現場的老師也感到非常好奇,其中一個驚奇的問我,為什麼它們的結果都等於2呢?

顯然,已經弔足了孩子們的胃口。現在,我建議她們去嘗試計算一些不同的平面圖,看看結果是不是還等於2?

不過,和前次不同的是,這次我要求孩子們自己畫圖,然後自己計算。

等孩子自己畫完和計算完,我還告訴了她們一些特殊的例子,比如,沒有閉環連接的圖形,或邊交叉的圖形等等。像下麵這樣:

當然,結果同樣等於2。

現在,孩子們都瞪著雙眼期待我來解釋這到底是為什麼? 說實話,剛開始,我原本打算游戲就到此為止,不想給出證明,畢竟,她們都是8、9歲的孩子,對於一個三年級的孩子來說,確實太難了點。可是,現場的老師也開始強烈要求我解釋一下為什麼,他們說,即使那些孩子聽不懂,讓她們大概瞭解一下也沒關係。

好吧,我是這樣解釋的。

我們得從最開始說起。當只有一個頂點,沒有邊的時候,歐拉公式也是成立的。如下圖:

然後,你在圖上加一個頂點,再將兩個頂點連接起來,同樣,也是成立的。因為這時多了一個頂點,同時也多了一個邊,V-E,2的結果依然成立。

同樣,如果在一個區域裡面畫一條邊,將這個區域分裂成兩個區域後,因為此時多了一條邊,同時也多了一個區域,-E+R,2的結果同樣保持。

是的,不管你加多少邊,畫多少頂點,這個等式都能保持平衡。

現在,我們來看看三維立體圖和它們的面。

對於不同的多面體,V-E+R=2都成立。 不同的是,在計算多面體時,我們用多面體的面(Face)來代替平面圖的區域(Region)。

現在,我再讓孩子們自己畫立體圖,然後自己來計算歐拉公式。

我開始教她們怎樣畫一個立體方塊和其它各種立體圖形。我原本以為,對於三年級的孩子來說,畫出這些立體圖形會比較困難,不過,很多孩子畫得非常好。

本文所用的圖就是其中一個孩子畫的。

後來,所有的孩子都帶了一本自己的畫冊回家,上面有許多平面圖和立體圖。

What a great day!

說幾句歐拉:

Leonard Euler出生於瑞士,長期在德國和俄羅斯工作。由於歐拉的巨大成就,三個國家一直都聲稱歐拉是本國數學家,嘴仗沒少打。


這是瑞士法郎上的歐拉。印上鈔票的數學家只有兩位,大家猜猜另一位是誰。


德國郵票上的歐拉。邊上寫著歐拉公式。


蘇聯郵票上的歐拉。他的一隻眼睛長期失明。

歐拉巨大的創作性鮮有匹敵。他是歷史上所有數學家中最高產的一位。

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