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轉自：JerryLead
http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/21/2024384.html#3855889
之前我們討論的PCA、ICA也好，對樣本資料來言，可以是沒有類別標簽y的。回想我們做回歸時，如果特徵太多，那麼會產生不相關特徵引入、過度擬合等問題。我們可以使用PCA來降維，但PCA沒有將類別標簽考慮進去，屬於無監督的。
比如回到上次提出的檔案中含有“learn”和“study”的問題，使用PCA後，也許可以將這兩個特徵合併為一個，降了維度。但假設我們的類別標簽y是判斷這篇文章的topic是不是有關學習方面的。那麼這兩個特徵對y幾乎沒什麼影響，完全可以去除。
再舉一個例子，假設我們對一張100*100畫素的圖片做人臉識別，每個畫素是一個特徵，那麼會有10000個特徵，而對應的類別標簽y僅僅是0/1值，1代表是人臉。這麼多特徵不僅訓練複雜，而且不必要特徵對結果會帶來不可預知的影響，但我們想得到降維後的一些最佳特徵（與y關係最密切的），怎麼辦呢？
線性判別分析（二類情況）
回顧我們之前的logistic回歸方法，給定m個n維特徵的訓練樣例
（i從1到m），每個
對應一個類標簽
。我們就是要學習出引數
，使得
（g是sigmoid函式）。
現在只考慮二值分類情況，也就是y=1或者y=0。
為了方便表示，我們先換符號重新定義問題，給定特徵為d維的N個樣例，
，其中有
個樣例屬於類別
，另外
個樣例屬於類別
。
現在我們覺得原始特徵數太多，想將d維特徵降到只有一維，而又要保證類別能夠“清晰”地反映在低維資料上，也就是這一維就能決定每個樣例的類別。
我們將這個最佳的向量稱為w（d維），那麼樣例x（d維）到w上的投影可以用下式來計算
這裡得到的y值不是0/1值，而是x投影到直線上的點到原點的距離。
當x是二維的，我們就是要找一條直線（方向為w）來做投影，然後尋找最能使樣本點分離的直線。如下圖：
從直觀上來看，右圖比較好，可以很好地將不同類別的樣本點分離。
接下來我們從定量的角度來找到這個最佳的w。
首先我們尋找每類樣例的均值（中心點），這裡i只有兩個
由於x到w投影后的樣本點均值為
由此可知，投影后的的均值也就是樣本中心點的投影。
什麼是最佳的直線（w）呢？我們首先發現，能夠使投影后的兩類樣本中心點儘量分離的直線是好的直線，定量表示就是：
J(w)越大越好。
但是隻考慮J(w)行不行呢？不行，看下圖
樣本點均勻分佈在橢圓裡，投影到橫軸x1上時能夠獲得更大的中心點間距J(w)，但是由於有重疊，x1不能分離樣本點。投影到縱軸x2上，雖然J(w)較小，但是能夠分離樣本點。因此我們還需要考慮樣本點之間的方差，方差越大，樣本點越難以分離。
我們使用另外一個度量值，稱作雜湊值（scatter），對投影后的類求雜湊值，如下
從公式中可以看出，只是少除以樣本數量的方差值，雜湊值的幾何意義是樣本點的密集程度，值越大，越分散，反之，越集中。
而我們想要的投影后的樣本點的樣子是：不同類別的樣本點越分開越好，同類的越聚集越好，也就是均值差越大越好，雜湊值越小越好。正好，我們可以使用J(w)和S來度量，最終的度量公式是
接下來的事就比較明顯了，我們只需尋找使J(w)最大的w即可。
先把雜湊值公式展開
我們定義上式中中間那部分
這個公式的樣子不就是少除以樣例數的協方差矩陣麼，稱為雜湊矩陣（scatter matrices）
我們繼續定義
稱為Within-class scatter matrix。
那麼回到上面
的公式，使用
替換中間部分，得
然後，我們展開分子
稱為Between-class scatter，是兩個向量的外積，雖然是個矩陣，但秩為1。
那麼J(w)最終可以表示為
在我們求導之前，需要對分母進行歸一化，因為不做歸一的話，w擴大任何倍，都成立，我們就無法確定w。因此我們打算令
，那麼加入拉格朗日乘子後，求導
其中用到了矩陣微積分，求導時可以簡單地把
當做
看待。
如果可逆，那麼將求導後的結果兩邊都乘以
，得
這個可喜的結果就是w就是矩陣
的特徵向量了。
這個公式稱為Fisher linear discrimination。
等等，讓我們再觀察一下，發現前面
的公式
那麼
代入最後的特徵值公式得
由於對w擴大縮小任何倍不影響結果，因此可以約去兩邊的未知常數
和
，得到
至此，我們只需要求出原始樣本的均值和方差就可以求出最佳的方向w，這就是Fisher於1936年提出的線性判別分析。
看上面二維樣本的投影結果圖：
線性判別分析（多類情況）
前面是針對只有兩個類的情況，假設類別變成多個了，那麼要怎麼改變，才能保證投影后類別能夠分離呢？
我們之前討論的是如何將d維降到一維，現在類別多了，一維可能已經不能滿足要求。假設我們有C個類別，需要K維向量（或者叫做基向量）來做投影。
將這K維向量表示為
。
我們將樣本點在這K維向量投影后結果表示為
，有以下公式成立
為了像上節一樣度量J(w)，我們打算仍然從類間雜湊度和類內雜湊度來考慮。
當樣本是二維時，我們從幾何意義上考慮：
其中
和與上節的意義一樣，
是類別1裡的樣本點相對於該類中心點
的雜湊程度。
變成類別1中心點相對於樣本中心點
的協方差矩陣，即類1相對於的雜湊程度。
為
的計算公式不變，仍然類似於類內部樣本點的協方差矩陣
需要變，原來度量的是兩個均值點的雜湊情況，現在度量的是每類均值點相對於樣本中心的雜湊情況。類似於將看作樣本點，是均值的協方差矩陣，如果某類裡面的樣本點較多，那麼其權重稍大，權重用Ni/N表示，但由於J(w)對倍數不敏感，因此使用Ni。
其中
是所有樣本的均值。
上面討論的都是在投影前的公式變化，但真正的J(w)的分子分母都是在投影后計算的。下麵我們看樣本點投影后的公式改變：
這兩個是第i類樣本點在某基向量上投影后的均值計算公式。
下麵兩個是在某基向量上投影后的和
其實就是將換成了
。
綜合各個投影向量（w）上的
和
，更新這兩個引數，得到
W是基向量矩陣，是投影后的各個類內部的雜湊矩陣之和，是投影后各個類中心相對於全樣本中心投影的雜湊矩陣之和。
回想我們上節的公式J(w)，分子是兩類中心距，分母是每個類自己的雜湊度。現在投影方向是多維了（好幾條直線），分子需要做一些改變，我們不是求兩兩樣本中心距之和（這個對描述類別間的分散程度沒有用），而是求每類中心相對於全樣本中心的雜湊度之和。
然而，最後的J(w)的形式是
由於我們得到的分子分母都是雜湊矩陣，要將矩陣變成實數，需要取行列式。又因為行列式的值實際上是矩陣特徵值的積，一個特徵值可以表示在該特徵向量上的發散程度。因此我們使用行列式來計算（此處我感覺有點牽強，道理不是那麼有說服力）。
整個問題又回歸為求J(w)的最大值了，我們固定分母為1，然後求導，得出最後結果（我翻查了很多講義和文章，沒有找到求導的過程）
與上節得出的結論一樣
最後還歸結到了求矩陣的特徵值上來了。首先求出
的特徵值，然後取前K個特徵向量組成W矩陣即可。
註意：由於中的
秩為1，因此的秩至多為C（矩陣的秩小於等於各個相加矩陣的秩的和）。由於知道了前C-1個後，最後一個
可以有前面的來線性表示，因此的秩至多為C-1。那麼K最大為C-1，即特徵向量最多有C-1個。特徵值大的對應的特徵向量分割效能最好。
由於不一定是對稱陣，因此得到的K個特徵向量不一定正交，這也是與PCA不同的地方。
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