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北大教授李忠:誰說學數學只是為了升學?數學可以讓你受益終生!

導讀:一個人,從小學、中學甚至到大學,都得學數學。為什麼要學這麼多數學呢?其意義究竟何在?

作者:李忠

來源:《初中數學教與學》

社會公眾對於數學與數學教育的意義缺乏足夠的瞭解,甚至存在許多誤解。一般地,人們容易看到各種技術的進步及其對社會發展與人類生活帶來的好處,而看不到背後的重要支撐——基礎科學,尤其是數學。

這裡也有一個輿論問題,關於數學的意義,數學界缺少面向公眾的、正確而簡明易懂的解釋。在我國,哥德巴赫猜想家喻戶曉,人們誤認為數學是研究那些古老難題的學科,沒有多大實際用途,充其量是為國家爭光。相當多的家長與學生認為,數學僅僅是為了升學而不得不學的東西,對於未來就業與工作並沒有多大用場。下麵就這些問題談談我的看法。


01 數學的應用

什麼是數學?數學是一門演繹科學。它的研究物件主要是“數”與“形”。一百多年前,恩格斯就曾給數學下過一個定義:“數學是研究現實世界中的數量關係和空間形式的科學。”

一百多年過去了,數學的發展使得數學的研究物件,已經遠遠超出了“數”與“形”的範疇,於是出現了一些其他定義。但是,我依然認為恩格斯的說法,是對數學的較好概括。這是因為,無論如何,數學首要的和基本的物件是數量關係和空間形式,恩格斯的說法明確地指出了數學與現實世界的聯繫。

伽利略說過:“大自然,這部偉大的書,是用數學語言寫成的。”自然界中的一切事物,都有“數”與“形”兩個側面。因此,數學所描述的數量關係與空間形式,就自然成為物理學、力學、天文學、化學、生物學的重要基礎,數學為這些科學提供了描述規律的語言和探索未知世界的一種工具。

回顧科學發展的歷史,就會發現,物理學、天文學、力學的任何重大發展無不與數學的進步息息相關。比如,牛頓力學,特別是萬有引力定律的發現,依賴於微積分創立;而愛因斯坦的相對論則以黎曼幾何為其基礎。著名數學家黎曼曾經指出:“只有在微積分創立之後,物理才發展成為一門真正意義下的科學。”

與其他基礎科學相比,數學最重要的特征是其研究物件的抽象性,它決定了數學的其他特征,並使它區別於自然科學。

任何數字都是抽象的,它捨棄了觀察物件的一切其他屬性,而只關註其數量。數字“1”既可以代表一個蘋果,也可以代表一隻羊,或一座山。數字“1”就是忽略了蘋果、羊、山等事物的差異,而只從數量上加以抽象。從具體數字再發展到一個代表量的文字“x”,是進一步的抽象。至於函式y=f(x),則是更進一步的抽象。

在幾何中的點、直線、圓、平面同樣是對現實世界中事物的抽象,同樣是人們為描述現實生活中某些事物而創造的一種語言。

比如,在世界地圖上,北京可以看成一個點,而在中國地圖中,天安門可以看成一點。因此,數學中的“點”實際上就是我們所考察的事物位置的抽象,它沒有大小,沒有面積,只有位置的不同。

數學研究物件的抽象性決定了它的應用廣泛性。1+1=2不僅適用於蘋果、羊、山,而且適用於一切事物。一個函式y=Asinωx可以代表電場的電流或電壓的變化規律,也可以代表某種波動的規律。許多完全不同事物提出的問題可以歸結為同一個數學模型。

數學研究物件的抽象性又決定了數學的演繹性。在生物學中,要斷言麻雀有胃並不難,只要解剖幾個麻雀就足夠了,而在數學中,要說明勾股定理成立,不能只靠驗證幾個直角三角形,而需要證明。當然,數學研究中,在其探索階段或許會用到歸納的辦法。但是,歸納出來的結論,不能作為定論,而只能作為一種猜測,有待於將來的證明或者否定。這就是說,數學中要確立一條規律只能依靠嚴格的邏輯推理,而不能靠經驗或實驗資料,更不能靠人們的直覺或想當然。

比如,許多大於2的偶數都可以表成兩個奇素數之和,但是不能因此而說一切偶數皆如此。又如,我們測量了很多三角形的三個內角之和等於180°,但是不能因此而得出所有三角形都如此的結論,需要嚴格證明。

數學的這種精神,早在2500多年之前就確定了——這是古希腊人的功勞。它一直被作為數學的基本精神沿承至今。古希腊人對數學的最大貢獻在於,他們認為數學中的每一個命題,都要根據明白無誤的假定和事先給定的公理與公設,由形式邏輯推演出來。

正是由於有了這種精神,古希腊人才發現了無理數,並導致歐幾裡得《幾何原本》的誕生,使得古希腊的數學成就遠遠超過了同時代的其他文明古國。後來在歐洲文藝復興時期,古希腊的這種精神在歐洲發揚光大,並帶動了數學與自然科學的發展。比如,微積分的創立、萬有引力定律的發現等。

反映這種科學精神巨大成功的一個典型事例是非歐幾何的誕生。歐幾裡得《幾何原本》剛一誕生,人們就試圖用其他公設來證明歐幾裡得第五公設即平行公設。相當多的數學家投入這種努力,然而統統都失敗了。

兩千多年的失敗,迫使人們放棄這種努力,並從另一個角度考慮問題:放棄平行公設,並把一個與平行相反的命題作為新的公設,這就產生了非歐幾何。它從此打破了兩千多年來歐幾裡得幾何的“一統天下”,是人類對空間認識的一場革命。它的發展進一步導致了黎曼幾何,而黎曼幾何成為愛因斯坦的廣義相對論的數學基礎。

從試圖證明平行公設開始,到非歐幾何的誕生,再到廣義相對論,充分說明瞭古希腊人所確立的數學精神的巨大意義。數學的這種精神,使人類擺脫了狹隘經驗的束縛,促使人們理性地思考與認識世界,並頑強地追求理性的完美。作為數學教育工作者,我們應當全面認識數學科學,反對實用主義。把數學分成“有用的數學”與“無用的數學”的提法,是完全錯誤的。

中國的古代在數學上有重要貢獻,但並沒有形成一個演繹系統。在我國,人們認識到科學以及科學精神的重要性,是很晚的事——五四時期。那是在屢遭失敗並付出巨大代價之後得出的結論。

由於數學的結論是邏輯演繹的結果,所以數學的結論是永恆的,不會隨時代變遷而改變。數學是這樣一門科學,它的發展不是對於舊有理論的否定。非歐幾何並不是對歐氏幾何的否定,兩者都成立,只不過是在不同的公理體系下而已。

人們或許會認為,在歷史上數學是重要的,但今天是高科技時代,抽象數學已經沒有那麼重要了。恰恰相反,高科技的發展的基石是數學,而且高科技的發展才使得數學的應用達到空前的廣泛。

在高科技時代,自然科學的各個研究領域都已進入更深的層次和更廣的範疇,這時就更加需要數學。在這種情況下,一度被認為沒有應用價值的某些抽象的數學概念和理論,出人意料地在其他領域中找到了它們的原型與應用。

數學與自然科學的關係從來沒有像今天這樣密切,恩格斯過去所說“數學在化學中的應用是線性方程組,而在生物學中的應用是零”的狀況早已成為歷史,數學中的許多高深理論與方法正在廣泛而深入地滲透到自然科學研究的各個領域中去。

例如,分子生物學中DNA結構的研究與數學中的扭結理論有關,而理論物理中的規範場論與微分幾何中的纖維叢理論緊密相關。至於現代理論物理則用到了許多當代純數學理論。20世紀80年代,美國自然科學基金會曾經指出,當代自然科學的研究正在日益呈現出數學化的趨勢。

現在,我們要進一步指出,數學是今天高科技的基礎。

20世紀最偉大的技術成就首推電子計算機的發明與應用,它改變了人們的日常生活的方方面面,並使人類進入信息時代。然而,大家公認電子計算機的發明應歸功於數學家:圖靈和馮·諾依曼。在電子計算機出現之前,數理邏輯中就有一種理想機(後來人稱圖靈機),它實際上是電子計算機的雛形。   

今天,IT技術已被廣泛地應用於人類生活,使我們無處不感到它的存在。然而,享用這些成果的人們卻往往只看到技術成果,而看不到這些技術背後起到關鍵作用的數學。

這樣的例子很多。醫學上的CT技術,中文印刷排版的自動化,波音777的計算機模擬設計,指紋的識別,石油地震勘探的資料處理,網絡系統安全技術等,在這些形形色色的成就背後,數學都扮演著十分重要的不可缺少的角色。數學在這些領域內不是一種可有可無的參考,而常常是問題的關鍵。

1985年,美國國家研究委員會在一份報告中指出:數學是推動計算機技術發展和促進這種技術在其他領域應用的基礎科學,還強調指出,數學是一個大有潛力的資源,有待人們去大力開發。該委員會把數學與能源、材料等併列為必須優先發展的基礎研究領域。

前美國總統科學顧問艾德華·大衛說過一句重要的話:很少人認識到當今如此被廣泛稱頌的高技術在本質上是一種數學技術。這句話不是要否定各種硬體技術發展的意義,而是強調數學在高技術中的關鍵性,是要強調高技術中數學的不可或缺性。從這個意義上講,他的見解無疑是正確的,並且是富有遠見的。

現在,讓我們談談數學和經濟學及管理科學之間的聯繫。用數學模型研究宏觀經濟與微觀經濟,用數學手段進行市場調查與預測,用數學理論進行風險分析和指導金融投資,在發達國家已被廣泛採用,在我國也開始受到重視。在數學中,數理統計學、優化與決策、實驗設計、隨機微分方程等,都是專門針對這些問題的數學理論。

中國科學院從過去的一個數學研究所發展成現在的五個所,越來越多的數學工作者從事跟經濟、管理、金融有關的研究。他們在國家的糧食產量預報、外匯管理等一系列問題上,為國家的決策提出了重要參考意見。近年來,我國的許多高等院校都增設統計系,乃至金融數學系。這些現象都反映了數學和經濟學、管理學的深刻聯繫,也反映了社會對於這方面的數學人才的需求。

在經濟與金融的理論研究上,數學的地位更加特殊。大家知道數學沒有諾貝爾獎。但數學家卻從經濟學獲得了諾貝爾獎。在諾貝爾經濟學獎的獲得者當中,數學家占了相當大的比例(21世紀初的統計數字為17/27)。美國電影《美麗心靈》就是描述了這樣一位數學家——納什。

02 數學教育的價值

下麵讓我們談談數學教育的價值,主要是中學數學教育的價值。

我認為,中學數學教育的目的有以下三個方面:傳授初等數學知識;進行邏輯推理訓練;培育科學精神。

這裡所謂的初等數學,是相對於高等數學而言的。通常,人們把微積分以後的數學稱作高等數學,而把此前的數學稱作初等數學;其內容應當主要是:初等代數,歐幾裡得幾何,三角函式,解析幾何初步等等。目前,許多國家在高中階段講一點微積分、概率與統計。儘管如此,中學所講的數學基本上是以初等數學為主。

中學所講的這些數學知識是學生在未來的工作與學習所必須的基礎數學知識,沒有一個堅實的初等數學的基礎,要學好高等數學是不可能的。而沒有高等數學知識,又怎麼學習近代的其他科學的知識呢?不用說理科與工科各個專業,就是一些文科專業,比如,經濟類各專業,統計專業,金融專業,以及經濟管理專業,同樣需要較多高等數學的知識。

我們應該看到,用拍腦門的辦法制定政策的時代已經結束。一個正確的決定需要一個科學的定量分析,這就不能沒有數學的參與,不論你願不願意,都是如此。在一些非理科專業工作的而數學基礎薄弱的人們,在遇到數學符號與數學理論時,往往束手無策。想要搞清這些概念,為時已晚。

數學這門學科有一個特點,即知識的連續性很強。要想懂得高等數學,就得先學好初等數學。而初等數學的學習需要時日,而且需要在少年時代學習,就像學語言一樣。過了一定的年齡,再來學語言與算術已經不成了。沒有這樣的基礎的人就只能是一個“心中無數的”人,更談不上從事較高的專業性工作。

以上是從傳授知識層面而言的。然而數學教育的意義遠遠不只是知識的傳授,更為重要的應該是,數學的訓練對青少年的心智、潛能的開發與提升,是深刻的、長遠的,而且也是其他學科所不能替代的。

說到這裡,我們需要專門講講歐幾裡得幾何這門課,因為它是最能代表數學演繹精神和數學的教育意義的。大幅度削減幾何課的內容與訓練是目前實施的課程標準的一大缺失。

初中的平面幾何,應該是初中數學教育最重要的一門課。它在整個中等教育占有特殊的地位:在青少年時期,歐氏幾何的學習對於一個人的推理能力的訓練與嚴謹的科學精神的養成,是必不可少的。如果一個人不懂得歐氏幾何,很難說他懂得數學,也很難說他懂得什麼是邏輯推理,就更難說他懂得什麼是科學。

有人說,世界各國大多不再講授歐氏幾何,這根本不是事實,純屬誤解。而應當說:用什麼方式去講解歐氏幾何,什麼時候講,講多講少,各國各有不同。歐洲、日本、美國都有自己的做法,各不相同,但是無論如何不能認為世界各國都不講歐氏幾何。

歐幾裡得幾何的原型是歐幾裡得所編的《幾何原本》,出現在公元前270年左右,它是人類文明中的一座輝煌大廈。歐幾裡得在這本書中構建了人類有史以來的第一個完整的邏輯體系,它的完美、嚴密、精巧令人贊嘆不已。愛因斯坦說:“在邏輯推理上的這種令人驚嘆的勝利,使得人類為他們的未來成就獲得了必要的信心。”

《幾何原本》曾經作為教材,在歐洲使用一千年以上。歐幾裡得的書被翻譯成世界各國文字,其版本之多,發行量之大,繼續之久,僅次於《聖經》。千百年來,世界各國都以《幾何原本》為基礎,編寫了各種教材,在初中階段講授。其目的在於訓練學生的推理能力。用點、線、角、三角形、圓等這些學生容易接受而明確無誤的數學物件為載體,訓練他們的推理能力,這是一個十分有效的辦法。

我們不可能用一個國際政治問題、家庭糾紛問題或其他實際問題來訓練學生,因為這些問題不僅複雜,而且具有不確定性。當我們鼓勵與啟發學生獨立完成一個幾何題目時,實際上就在培養他們的思考能力與探究精神。比如,過圓外一點做一條直線與一圓周相切。學生為瞭解決它就得不斷地分析、試驗,逐步到達勝利的終點。這個思考的過程使得他的能力得到提高。

一個中學生在他工作之後,有可能再沒有遇到過一個幾何題目或一個二次方程,但他從數學課中所培養起來的思考能力以及推理能力,卻伴隨他的終生。

我國明代科學家徐光啟看到了歐幾裡得幾何的教育意義,他把此書翻譯成中文,併在出版此書的序言中說:“精通此書者,無一事不可精;好此書者,無一事不可學。”他的話是何等之精辟!

隨著科學技術的進步與社會的發展,在人才的選拔上,人們逐漸意識到人的能力的重要性大於其知識多寡,也就說,一個人的能力,即分析問題、解決問題的能力和創新能力,尤其是創新能力,對於一個用人單位而言,更為重要。某些行業,人們越來越青睞於具有較高數學素養的人。近幾十年,美國每年都有就業背景統計,資料顯示,有數學背景的人才就業率每年都是最高的。這絕非偶然。

數學教育的意義還在於科學精神的培育,就是指概念的準確無誤與推理的嚴謹。在中學里做幾何題目時,用一條豎線隔開,左面敘述推理過程中每一步的結論,而右面寫出每一條結論的依據。這種訓練是十分必要的,應當堅持一定的階段。在這樣的潛移默化之中,學生就養成了不說沒有根據的話,或者根據不足的話的習慣。

為達到概念的準確,要求我們對概念有一個規範的敘述,這就是數學中的定義。概念不能含混不清,不能在推理中偷換。數學的結論,應當用定理或命題寫出。定理或命題包含兩個部分:一是條件,二是結論。若兩個三角形有兩個內角相等,則它們相似。定義與定理是兩件不同的事。定義一件事,可以不涉及它的存在性。比如人們可定義什麼叫正托面體。但是,對於不少卵的值,它是不存在的,只有少數幾個咒的值,它才是存在的。

近年來,筆者發現部分大一學生分不清什麼是定義與定理,更不瞭解定義或定理的重要性,也不明白為啥要證明。由於初等數學的概念一般較為簡單,一般不明確表出“定義”二字,或許還可以理解的。但是不標出定理,把許多重要結論淹沒在各種數學敘述之中,而且沒有突出出來,並且一般沒有明確的證明,這是不妥的。

科學精神的培育要求科學地提出問題。一個愚蠢的問題會造成許多混亂,並且不利於學生的科學精神的養成。近年來,有些“舶來品”在我們這裡很盛行,滑稽的是人家已經或正在取消這些東西,而我們卻拿來當做至寶。

比如,“一百萬有多大?”“一百元在超市能買多少東西?”“20層樓有多高?”“一百萬字的書有多厚?”還說什麼是為了“培養學生的發散思維”。我只能說,這些討論既不具有知識性,也不具有任何思維訓練的意義,對學生沒有任何好處。“以其昏昏,使人昭昭”,那是不成的。

科學精神包含著科學的懷疑,而懷疑正是思考的開始。馬克思和笛卡兒都講過這一點。但是我不贊成什麼發散思維與逆向思維的提法。

科學知識應當具有一定的系統性。把本來系統的代數與幾何的知識打碎,然後混雜在一起講,今天講三條線八個角,明天講合併同類項,後天講坐標,美其名日“打破學科界限”,“不斷重覆,螺旋上升”。這些做法是非常不當的。

一堂好的數學課,當然應當生動、有趣,課堂活躍,吸引學生的參與也是重要的。但這僅僅是一個手段,而不是我們的目的。僅僅是課堂活躍,而所討論的問題沒有價值,同樣不能算是一堂好的數學課。

數學的應用當然是重要的。但是,一個真正的實際問題往往是複雜的,或許比其中的數學還困難。在這種條件下,要不要引到課堂上,就值得考慮。把某類實際問題交給學生去做實踐觀察,也要慎重,需要權衡得失。

既然數學是一門演繹科學,那麼我們的教學活動應當把重點放在概念的準確理解與邏輯的推理上。中學數學概念大多容易被中學生接受,所以,一般說來,沒有必要設計一些特殊的場景在課堂演示。這樣做會浪費寶貴的時間而得不償失。

搞好教學改革應當從實際出發,實事求是。衡量教學改革成敗的唯一標準是實際教學效果,而不是什麼“洋理念”或其“山寨版”,更不是什麼“新提法”。

正確的改革應當具有繼承性。拋棄自己的優良傳統,而貿然用一種沒有經過實踐檢驗的東西替代它,那是危險的、有害的。

教育的改革是一個長期的漸進過程。在探索教學改革過程中,改革的嘗試必然具有多樣性,不能以任何名義強求統一。長期工作在第一線的有經驗的教師應當得到充分尊重。他們的經驗是可貴的,值得推廣。至少他們在教學內容、教學的方式方法,甚至在學時分配上,應該有足夠的教學自主權。國家教育部制定的課程標準,既然是“試行”,就應當允許各種試驗與不同做法。

延伸閱讀《數學極客

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