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科普:String hashCode 方法為什麼選擇數字31作為乘子

精品專欄

 

作者:田小波
原文鏈接:https://www.cnblogs.com/nullllun/p/8350178.html

1. 背景

某天,我在寫代碼的時候,無意中點開了 String hashCode 方法。然後大致看了一下 hashCode 的實現,發現並不是很複雜。但是我從原始碼中發現了一個奇怪的數字,也就是本文的主角31。這個數字居然不是用常量宣告的,所以沒法從字面意思上推斷這個數字的用途。後來帶著疑問和好奇心,到網上去找資料查詢一下。在看完資料後,默默的感嘆了一句,原來是這樣啊。那麼到底是哪樣呢?在接下來章節里,請大家帶著好奇心和我揭開數字31的用途之謎。

2. 選擇數字31的原因

在詳細說明 String hashCode 方法選擇數字31的作為乘子的原因之前,我們先來看看 String hashCode 方法是怎樣實現的,如下:

  1. public int hashCode() {
  2.    int h = hash;
  3.    if (h == 0 && value.length > 0) {
  4.        char val[] = value;
  5.        for (int i = 0; i < value.length; i++) {
  6.            h = 31 * h + val[i];
  7.        }
  8.        hash = h;
  9.    }
  10.    return h;
  11. }

上面的代碼就是 String hashCode 方法的實現,是不是很簡單。實際上 hashCode 方法核心的計算邏輯只有三行,也就是代碼中的 for 迴圈。我們可以由上面的 for 迴圈推匯出一個計算公式,hashCode 方法註釋中已經給出。如下:

  1. s[0]*31^(n-1) + s[1]*31^(n-2) + ... + s[n-1]

這裡說明一下,上面的 s 陣列即原始碼中的 val 陣列,是 String 內部維護的一個 char 型別陣列。這裡我來簡單推導一下這個公式:

  1. 假設 n=3
  2. i=0 -> h = 31 * 0 + val[0]
  3. i=1 -> h = 31 * (31 * 0 + val[0]) + val[1]
  4. i=2 -> h = 31 * (31 * (31 * 0 + val[0]) + val[1]) + val[2]
  5.       h = 31*31*31*0 + 31*31*val[0] + 31*val[1] + val[2]
  6.       h = 31^(n-1)*val[0] + 31^(n-2)*val[1] + val[2]

上面的公式包括公式的推導並不是本文的重點,大家瞭解瞭解即可。接下來來說說本文的重點,即選擇31的理由。從網上的資料來看,一般有如下兩個原因:

第一,31是一個不大不小的質數,是作為 hashCode 乘子的優選質數之一。另外一些相近的質數,比如37、41、43等等,也都是不錯的選擇。那麼為啥偏偏選中了31呢?請看第二個原因。

第二、31可以被 JVM 優化,31 * i = (i << 5) – i。

上面兩個原因中,第一個需要解釋一下,第二個比較簡單,就不說了。下麵我來解釋第一個理由。一般在設計哈希演算法時,會選擇一個特殊的質數。至於為啥選擇質數,我想應該是可以降低哈希演算法的衝突率。至於原因,這個就要問數學家了,我幾乎可以忽略的數學水平解釋不了這個原因。上面說到,31是一個不大不小的質數,是優選乘子。那為啥同是質數的2和101(或者更大的質數)就不是優選乘子呢,分析如下。

這裡先分析質數2。首先,假設 n = 6,然後把質數2和 n 帶入上面的計算公式。並僅計算公式中次數最高的那一項,結果是2^5 = 32,是不是很小。所以這裡可以斷定,當字串長度不是很長時,用質數2做為乘子算出的哈希值,數值不會很大。也就是說,哈希值會分佈在一個較小的數值區間內,分佈性不佳,最終可能會導致衝突率上升。

上面說了,質數2做為乘子會導致哈希值分佈在一個較小區間內,那麼如果用一個較大的大質數101會產生什麼樣的結果呢?根據上面的分析,我想大家應該可以猜出結果了。就是不用再擔心哈希值會分佈在一個小的區間內了,因為101^5 = 10,510,100,501。但是要註意的是,這個計算結果太大了。如果用 int 型別表示哈希值,結果會上限溢位,最終導致數值信息丟失。儘管數值信息丟失並不一定會導致衝突率上升,但是我們暫且先認為質數101(或者更大的質數)也不是很好的選擇。最後,我們再來看看質數31的計算結果:31^5 = 28629151,結果值相對於32和10,510,100,501來說。是不是很nice,不大不小。

上面用了比較簡陋的數學手段證明瞭數字31是一個不大不小的質數,是作為 hashCode 乘子的優選質數之一。接下來我會用詳細的實驗來驗證上面的結論,不過在驗證前,我們先看看 Stack Overflow 上關於這個問題的討論,Why does Java’s hashCode() in String use 31 as a multiplier?。其中排名第一的答案取用了《Effective Java》中的一段話,這裡也取用一下:

The value 31 was chosen because it is an odd prime. If it were even and the multiplication overflowed, information would be lost, as multiplication by 2 is equivalent to shifting. The advantage of using a prime is less clear, but it is traditional. A nice property of 31 is that the multiplication can be replaced by a shift and a subtraction for better performance: `31 * i == (i << 5) – i“ . Modern VMs do this sort of optimization automatically.

簡單翻譯一下:

選擇數字31是因為它是一個奇質數,如果選擇一個偶數會在乘法運算中產生上限溢位,導致數值信息丟失,因為乘二相當於移位運算。選擇質數的優勢並不是特別的明顯,但這是一個傳統。同時,數字31有一個很好的特性,即乘法運算可以被移位和減法運算取代,來獲取更好的性能:31 * i == (i << 5) – i,現代的 Java 虛擬機可以自動的完成這個優化。

排名第二的答案設這樣說的:

As Goodrich and Tamassia point out, If you take over 50,000 English words (formed as the union of the word lists provided in two variants of Unix), using the constants 31, 33, 37, 39, and 41 will produce less than 7 collisions in each case. Knowing this, it should come as no surprise that many Java implementations choose one of these constants.

這段話也翻譯一下:

正如 Goodrich 和 Tamassia 指出的那樣,如果你對超過 50,000 個英文單詞(由兩個不同版本的 Unix 字典合併而成)進行 hash code 運算,並使用常數 31, 33, 37, 39 和 41 作為乘子,每個常數算出的哈希值衝突數都小於7個,所以在上面幾個常數中,常數 31 被 Java 實現所選用也就不足為奇了。

上面的兩個答案完美的解釋了 Java 原始碼中選用數字 31 的原因。接下來,我將針對第二個答案就行驗證,請大家繼續往下看。

3. 實驗及資料可視化

本節,我將使用不同的數字作為乘子,對超過23萬個英文單詞進行哈希運算,並計算哈希演算法的衝突率。同時,我也將針對不同乘子算出的哈希值分佈情況進行可視化處理,讓大家可以直觀的看到資料分佈情況。本次實驗所使用的資料是 Unix/Linux 平臺中的英文字典檔案,檔案路徑為 /usr/share/dict/words。

3.1 哈希值衝突率計算

計算哈希演算法衝突率並不難,比如可以一次性將所有單詞的 hash code 算出,並放入 Set 中去除重覆值。之後拿單詞數減去 set.size() 即可得出衝突數,有了衝突數,衝突率就可以算出來了。當然,如果使用 JDK8 提供的流式計算 API,則可更方便算出,代碼片段如下:

  1. public static Integer hashCode(String str, Integer multiplier) {
  2.    int hash = 0;
  3.    for (int i = 0; i < str.length(); i++) {
  4.      hash = multiplier * hash + str.charAt(i);
  5.    }
  6.    return hash;
  7. }
  8. /**
  9. * 計算 hash code 衝突率,順便分析一下 hash code 最大值和最小值,並輸出
  10. */
  11. public static void calculateConflictRate(Integer multiplier, List<Integer> hashs) {
  12.    Comparator<Integer> cp = (x, y) -> x > y ? 1 : (x < y ? -1 : 0);
  13.    int maxHash = hashs.stream().max(cp).get();
  14.    int minHash = hashs.stream().min(cp).get();
  15.    // 計算衝突數及衝突率
  16.    int uniqueHashNum = (int) hashs.stream().distinct().count();
  17.    int conflictNum = hashs.size() - uniqueHashNum;
  18.    double conflictRate = (conflictNum * 1.0) / hashs.size();
  19.    System.out.println(String.format("multiplier=%4d, minHash=%11d, maxHash=%10d, conflictNum=%6d, conflictRate=%.4f%%",
  20.                multiplier, minHash, maxHash, conflictNum, conflictRate * 100));
  21. }

結果如下:

從上圖可以看出,使用較小的質數做為乘子時,衝突率會很高。尤其是質數2,衝突率達到了 55.14%。同時我們註意觀察質數2作為乘子時,哈希值的分佈情況。可以看得出來,哈希值分佈並不是很廣,僅僅分佈在了整個哈希空間的正半軸部分,即 0 ~ 231-1。而負半軸 -231 ~ -1,則無分佈。這也證明瞭我們上面斷言,即質數2作為乘子時,對於短字串,生成的哈希值分佈性不佳。然後再來看看我們之前所說的 31、37、41 這三個不大不小的質數,表現都不錯,衝突數都低於7個。而質數 101 和 199 表現的也很不錯,衝突率很低,這也說明哈希值上限溢位並不一定會導致衝突率上升。但是這兩個家伙一言不合就上限溢位,我們認為他們不是哈希演算法的優選乘子。最後我們再來看看 32 和 36 這兩個偶數的表現,結果並不好,尤其是 32,衝突率超過了了50%。儘管 36 表現的要好一點,不過和 31,37相比,衝突率還是比較高的。當然並非所有的偶數作為乘子時,衝突率都會比較高,大家有興趣可以自己驗證。

3.2 哈希值分佈可視化

上一節分析了不同數字作為乘子時的衝突率情況,這一節來分析一下不同數字作為乘子時,哈希值的分佈情況。在詳細分析之前,我先說說哈希值可視化的過程。我原本是打算將所有的哈希值用一維散點圖進行可視化,但是後來找了一圈,也沒找到合適的畫圖工具。加之後來想了想,一維散點圖可能不合適做哈希值可視化,因為這裡有超過23萬個哈希值。也就意味著會在圖上顯示超過23萬個散點,如果不出意外的話,這23萬個散點會聚集的很密,有可能會變成一個大黑塊,就失去了可視化的意義了。所以這裡選擇了另一種可視化效果更好的圖表,也就是 excel 中的平滑曲線的二維散點圖(下麵簡稱散點曲線圖)。當然這裡同樣沒有把23萬散點都顯示在圖表上,太多了。所以在實際繪圖過程中,我將哈希空間等分成了64個子區間,並統計每個區間內的哈希值數量。最後將分割槽編號做為X軸,哈希值數量為Y軸,就繪製出了我想要的二維散點曲線圖了。這裡舉個例子說明一下吧,以第0分割槽為例。第0分割槽數值區間是[-2147483648, -2080374784),我們統計落在該數值區間內哈希值的數量,得到 數值對,這樣就可以繪圖了。分割槽代碼如下:

  1. /**
  2. * 將整個哈希空間等分成64份,統計每個空間內的哈希值數量
  3. * @param hashs
  4. */
  5. public static Map<Integer, Integer> partition(List<Integer> hashs) {
  6.   // step = 2^32 / 64 = 2^26
  7.   final int step = 67108864;
  8.   List<Integer> nums = new ArrayList<>();
  9.   Map<Integer, Integer> statistics = new LinkedHashMap<>();
  10.   int start = 0;
  11.   for (long i = Integer.MIN_VALUE; i <= Integer.MAX_VALUE; i += step) {
  12.       final long min = i;
  13.       final long max = min + step;
  14.       int num = (int) hashs.parallelStream()
  15.               .filter(x -> x >= min && x < max).count();
  16.       statistics.put(start++, num);
  17.       nums.add(num);
  18.   }
  19.   // 為了防止計算出錯,這裡驗證一下
  20.   int hashNum = nums.stream().reduce((x, y) -> x + y).get();
  21.   assert hashNum == hashs.size();
  22.   return statistics;
  23. }

本文中的哈希值是用整形表示的,整形的數值區間是 [-2147483648, 2147483647],區間大小為 2^32。所以這裡可以將區間等分成64個子區間,每個自子區間大小為 2^26。詳細的分割槽對照表如下:

分割槽編號 分割槽下限 分割槽上限 分割槽編號 分割槽下限 分割槽上限
0 -2147483648 -2080374784 32 0 67108864
1 -2080374784 -2013265920 33 67108864 134217728
2 -2013265920 -1946157056 34 134217728 201326592
3 -1946157056 -1879048192 35 201326592 268435456
4 -1879048192 -1811939328 36 268435456 335544320
5 -1811939328 -1744830464 37 335544320 402653184
6 -1744830464 -1677721600 38 402653184 469762048
7 -1677721600 -1610612736 39 469762048 536870912
8 -1610612736 -1543503872 40 536870912 603979776
9 -1543503872 -1476395008 41 603979776 671088640
10 -1476395008 -1409286144 42 671088640 738197504
11 -1409286144 -1342177280 43 738197504 805306368
12 -1342177280 -1275068416 44 805306368 872415232
13 -1275068416 -1207959552 45 872415232 939524096
14 -1207959552 -1140850688 46 939524096 1006632960
15 -1140850688 -1073741824 47 1006632960 1073741824
16 -1073741824 -1006632960 48 1073741824 1140850688
17 -1006632960 -939524096 49 1140850688 1207959552
18 -939524096 -872415232 50 1207959552 1275068416
19 -872415232 -805306368 51 1275068416 1342177280
20 -805306368 -738197504 52 1342177280 1409286144
21 -738197504 -671088640 53 1409286144 1476395008
22 -671088640 -603979776 54 1476395008 1543503872
23 -603979776 -536870912 55 1543503872 1610612736
24 -536870912 -469762048 56 1610612736 1677721600
25 -469762048 -402653184 57 1677721600 1744830464
26 -402653184 -335544320 58 1744830464 1811939328
27 -335544320 -268435456 59 1811939328 1879048192
28 -268435456 -201326592 60 1879048192 1946157056
29 -201326592 -134217728 61 1946157056 2013265920
30 -134217728 -67108864 62 2013265920 2080374784
31 -67108864 0 63 2080374784 2147483648

接下來,讓我們對照上面的分割槽表,對數字2、3、17、31、101的散點曲線圖進行簡單的分析。先從數字2開始,數字2對於的散點曲線圖如下:

上面的圖還是很一幕瞭然的,乘子2算出的哈希值幾乎全部落在第32分割槽,也就是 [0, 67108864)數值區間內,落在其他區間內的哈希值數量幾乎可以忽略不計。這也就不難解釋為什麼數字2作為乘子時,算出哈希值的衝突率如此之高的原因了。所以這樣的哈希演算法要它有何用啊,拖出去斬了吧。接下來看看數字3作為乘子時的表現:

3作為乘子時,算出的哈希值分佈情況和2很像,只不過稍微好了那麼一點點。從圖中可以看出絕大部分的哈希值最終都落在了第32分割槽里,哈希值的分佈性很差。這個也沒啥用,拖出去槍斃5分鐘吧。在看看數字17的情況怎麼樣:

數字17作為乘子時的表現,明顯比上面兩個數字好點了。雖然哈希值在第32分割槽和第34分割槽有一定的聚集,但是相比較上面2和3,情況明顯好好了很多。除此之外,17作為乘子算出的哈希值在其他區也均有分佈,且較為均勻,還算是一個不錯的乘子吧。

接下來來看看我們本文的主角31了,31作為乘子算出的哈希值在第33分割槽有一定的小聚集。不過相比於數字17,主角31的表現又好了一些。首先是哈希值的聚集程度沒有17那麼嚴重,其次哈希值在其他區分佈的情況也要好於17。總之,選31,準沒錯啊。

最後再來看看大質數101的表現,不難看出,質數101作為乘子時,算出的哈希值分佈情況要好於主角31,有點喧賓奪主的意思。不過不可否認的是,質數101的作為乘子時,哈希值的分佈性確實更加均勻。所以如果不在意質數101容易導致資料信息丟失問題,或許其是一個更好的選擇。

4.寫在最後

經過上面的分析與實踐,我想大家應該明白了 String hashCode 方法中選擇使用數字31作為乘子的原因了。本文本質是一篇簡單的科普文而已,並沒有銀彈。如果大家讀完後覺得又漲知識了,那這篇文章的目的就達到了。最後,本篇文章的配圖畫的還是很辛苦的,所以如果大家覺得文章不錯,不妨就給個贊吧,就當是對我的鼓勵了。另外,如果文章中有不妥或者錯誤的地方,也歡迎指出來。如果能不吝賜教,那就更好了。最後祝大家生活愉快,再見。

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