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詳解 kmeans 聚類演算法

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轉自:JerryLead

http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/06/2006910.html

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K-means也是聚類演算法中最簡單的一種了,但是裡面包含的思想卻是不一般。最早我使用並實現這個演算法是在學習韓爺爺那本資料挖掘的書中,那本書比較註重應用。


看了Andrew Ng的這個講義後才有些明白K-means後麵包含的EM思想。


聚類屬於無監督學習,以往的回歸、朴素貝葉斯、SVM等都是有類別標簽y的,也就是說樣例中已經給出了樣例的分類。而聚類的樣本中卻沒有給定y,只有特征x,比如假設宇宙中的星星可以表示成三維空間中的點集


聚類的目的是找到每個樣本x潛在的類別y,並將同類別y的樣本x放在一起。比如上面的星星,聚類後結果是一個個星團,星團裡面的點相互距離比較近,星團間的星星距離就比較遠了。


在聚類問題中,給我們的訓練樣本是,每個,沒有了y。

     

K-means演算法是將樣本聚類成k個簇(cluster),具體演算法描述如下:


1、 隨機選取k個聚類質心點(cluster centroids)為

2、 重覆下麵過程直到收斂 {

 對於每一個樣例i,計算其應該屬於的類

               

 對於每一個類j,重新計算該類的質心

               

}

K是我們事先給定的聚類數,代表樣例i與k個類中距離最近的那個類,的值是1到k中的一個。


質心代表我們對屬於同一個類的樣本中心點的猜測,拿星團模型來解釋就是要將所有的星星聚成k個星團,首先隨機選取k個宇宙中的點(或者k個星星)作為k個星團的質心,然後第一步對於每一個星星計算其到k個質心中每一個的距離。


然後選取距離最近的那個星團作為,這樣經過第一步每一個星星都有了所屬的星團;第二步對於每一個星團,重新計算它的質心(對裡面所有的星星坐標求平均)。重覆迭代第一步和第二步直到質心不變或者變化很小。


下圖展示了對n個樣本點進行K-means聚類的效果,這裡k取2。


     

K-means面對的第一個問題是如何保證收斂,前面的演算法中強調結束條件就是收斂,可以證明的是K-means完全可以保證收斂性。下麵我們定性的描述一下收斂性,我們定義畸變函式(distortion function)如下:


     

J函式表示每個樣本點到其質心的距離平方和。K-means是要將J調整到最小。假設當前J沒有達到最小值,那麼首先可以固定每個類的質心,調整每個樣例的所屬的類別來讓J函式減少,同樣,固定,調整每個類的質心也可以使J減小。


這兩個過程就是內迴圈中使J單調遞減的過程。當J遞減到最小時,和c也同時收斂。(在理論上,可以有多組不同的和c值能夠使得J取得最小值,但這種現象實際上很少見)。


由於畸變函式J是非凸函式,意味著我們不能保證取得的最小值是全域性最小值,也就是說k-means對質心初始位置的選取比較感冒,但一般情況下k-means達到的區域性最優已經滿足需求。但如果你怕陷入區域性最優,那麼可以選取不同的初始值跑多遍k-means,然後取其中最小的J對應的和c輸出。


下麵累述一下K-means與EM的關係,首先回到初始問題,我們目的是將樣本分成k個類,其實說白了就是求每個樣例x的隱含類別y,然後利用隱含類別將x歸類。


由於我們事先不知道類別y,那麼我們首先可以對每個樣例假定一個y吧,但是怎麼知道假定的對不對呢?怎麼評價假定的好不好呢?我們使用樣本的極大似然估計來度量,這裡是就是x和y的聯合分佈P(x,y)了。如果找到的y能夠使P(x,y)最大,那麼我們找到的y就是樣例x的最佳類別了,x順手就聚類了。


但是我們第一次指定的y不一定會讓P(x,y)最大,而且P(x,y)還依賴於其他未知引數,當然在給定y的情況下,我們可以調整其他引數讓P(x,y)最大。但是調整完引數後,我們發現有更好的y可以指定,那麼我們重新指定y,然後再計算P(x,y)最大時的引數,反覆迭代直至沒有更好的y可以指定。

     

這個過程有幾個難點,第一怎麼假定y?是每個樣例硬指派一個y還是不同的y有不同的概率,概率如何度量。第二如何估計P(x,y),P(x,y)還可能依賴很多其他引數,如何調整裡面的引數讓P(x,y)最大。這些問題在以後的篇章里回答。

     

這裡只是指出EM的思想,E步就是估計隱含類別y的期望值,M步調整其他引數使得在給定類別y的情況下,極大似然估計P(x,y)能夠達到極大值。然後在其他引數確定的情況下,重新估計y,周而複始,直至收斂。

     

上面的闡述有點費解,對應於K-means來說就是我們一開始不知道每個樣例對應隱含變數也就是最佳類別


最開始可以隨便指定一個給它,然後為了讓P(x,y)最大(這裡是要讓J最小),我們求出在給定c情況下,J最小時的(前面提到的其他未知引數),然而此時發現,可以有更好的(質心與樣例距離最小的類別)指定給樣例,那麼得到重新調整,上述過程就開始重覆了,直到沒有更好的指定。


這樣從K-means里我們可以看出它其實就是EM的體現,E步是確定隱含類別變數,M步更新其他引數來使J最小化。這裡的隱含類別變數指定方法比較特殊,屬於硬指定,從k個類別中硬選出一個給樣例,而不是對每個類別賦予不同的概率。


總體思想還是一個迭代優化過程,有標的函式,也有引數變數,只是多了個隱含變數,確定其他引數估計隱含變數,再確定隱含變數估計其他引數,直至標的函式最優。



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